【AtCoder Grand Contest 018 D】Tree and Hamilton Path | Mrsrz's blog

贪心，树的重心。

题目大意：

给定一棵带权树，要求从一个结点出发，每次走到一个之前没有走到过的结点。所有结点都经过之后停下。要求最大化总路径长度。

题解：

贪心。我们希望最大化每条边的贡献。如果能找到一个根，使得每个结点的贡献都是它到根的距离的两倍，这样一定是最优的。

容易想到树的重心。我们以树的重心为根，每次从一个结点走到与它不在同一棵子树中的另一个结点上。这样贡献是最大的。

这样算出来是个回路，我们考虑最后在根的儿子处停下即可（即删去根连出的一条边）。

若存在一棵子树大小为 $\frac{n+1}2$，则只能去掉这棵子树与根的边。否则可以去任意，选最小的即可。

稍加推理可得把根移动以后的解不会超过当前。

Code：

#include<cstdio>
const int N=1e5+6;
typedef long long LL;
int n,head[N],cnt,nod,sz[N],mxd[N],rt;
LL dis[N];
struct edge{
    int to,nxt,w;
}e[N<<1];
LL ans,mn=0x3fffffffffffffff;
void getrt(int now,int pre){
    sz[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
    if(e[i].to!=pre){
        getrt(e[i].to,now);
        sz[now]+=sz[e[i].to];
        if(mxd[now]<sz[e[i].to])mxd[now]=sz[e[i].to];
    }
    if(mxd[now]<n-sz[now])mxd[now]=n-sz[now];
    if(!rt||mxd[now]<mxd[rt])rt=now;
}
void dfs(int now,int pre){
    sz[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
    if(e[i].to!=pre){
        dis[e[i].to]=dis[now]+e[i].w;
        dfs(e[i].to,now);
        sz[now]+=sz[e[i].to];
    }
}
inline void update(LL x,LL y){ans+=x+y;}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,u,v,w;i<n;++i){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        e[++cnt]=(edge){v,head[u],w},head[u]=cnt;
        e[++cnt]=(edge){u,head[v],w},head[v]=cnt;
    }
    getrt(1,0);
    for(int i=head[rt];i;i=e[i].nxt){
        dis[e[i].to]=e[i].w;
        if(e[i].w<mn)mn=e[i].w;
        dfs(e[i].to,rt);
    }
    for(int i=head[rt];i;i=e[i].nxt)if(sz[e[i].to]==(n+1)/2)mn=e[i].w;
    for(int i=1;i<=n;++i)ans+=2*dis[i];
    printf("%lld\n",ans-mn);
    return 0;
}